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Der stationäre Strom im geschlossenen Stromkreis

nach W. Panofsky, M. Phillips, Classical electricity and magnetism, Addison-Wesley Publishing Company, 2. Auflage 1962, S. 118 - 122 und vielen anderen Standard-Lehrbüchern der Elektrodynamik

Vgl. auch Hat Spannung bei einem stationären Strom etwas mit "gestauten Elektronen" zu tun?

und auch Spannungsdefinition "über potenzielle Energie der frei beweglichen Elektronen"?

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1. Es ist eine Erfahrungstatsache, dass keine Ladungen aus dem Nichts entstehen können. Fließt also aus einem kleinen Volumen DV ein Strom heraus, dann muss die Ladungsmenge DQ = r . DV im Volumen DV abnehmen, ganz entsprechend, wenn ein Strom hineinfließt. Es gilt also mit der Stromdichte j und der Ladungsdichte r für die totale Änderung der Ladung im Volumen DV:

mit der Quellstärke div j. Ein Strom heißt "stationär", wenn sich nirgendwo längs des Stromlaufs im Laufe der Zeit Ladungen ansammeln oder vermindern, wenn ¶r/¶t = 0 überall ist. Dann gilt gleichzeitig div j = 0: Ströme, die in ein kleines Volumen DV hineinfließen, müssen aus ihm auch wieder herausfließen. Das ist die Situation bei einem geschlossenen Stromkreis nach einer vernachlässigbar kleinen Zeit, in der sich dieser stationäre Strom einstellt.

Das schließt auch ein, dass der Strom auf geschlossenen Bahnen fließt, dass die Ladungsverteilung längs dieses Stromwegs unbeeinflusst bleibt. Der Strom bei einer Kondensator-Entladung ist sicher nicht stationär, weil sich die Kondensatorplatten entladen und weil   j Quellen und Senken (div j ¹ 0) an den Kondensatorplatten hat.

2. Fließt ein elektrischer Strom mit der Stromdichte j durch ein elektrisches Feld E, so kann das elektrische Feld an den Ladungen positive oder negative Arbeit verrichten. Die Leistungsdichte n ist dabei n = j E (Begründung s. unten). Falls j und E gleichgerichtet sind, verrichtet also das Feld E in der Zeit Dt im kleinen Volumen DV die positive Arbeit      DW   =    j.E. Dt DV.

Wenn j und E durch das ohmsche Gesetz miteinander verknüpft sind:  j = s.E, gilt für die Leistungsdichte n:  

Das ist also die Energie pro Zeit- und Volumeneinheit, die das Feld an einem ohmschen Widerstand verrichtet, die also als Wärme pro Zeit- und Volumeneinheit nach außen abgegeben wird.

3. Welche Arbeit verrichtet das elektrische Feld in einem Volumen V, das den ganzen Strom umfasst, wenn ein reines Potenzialfeld E vorliegt und ein stationärer Strom fließt?

Ein Potenzialfeld E ist aus einem Potenzial ableitbar:   E = - grad f und es gilt wegen der Wegunabhängigkeit der Verschiebungsarbeit für das Umlaufsintegral über eine geschlossene Kurve:    òo E.dl  = 0  (bzw. rot E = 0 ) ^*).   

Um die Leistung zu erhalten ist über die Leistungsdichte n zu integrieren:

                      ò  j.E dV =   - ò   j. grad f dV

Wegen div (j.f) = f.div j + j.grad f, also        j.grad f = div (j.f) - f.div j    erhält man durch partielle Integration:

ò  j.E dV =   - ò  j. grad f dV  =     -  ò  div (j. f ) dV  +   ò  f div j   dV   =     -   òo (j. f ) df    +   ò  f div j   dV    nach dem Gaußschen Satz. Wählt man die Oberfläche des Volumens genügend groß, so dass j und  f gemeinsam schneller als 1/r² abgeklungen sind, verschwindet das Oberflächen-Integral und es gilt:

                     ò  j.E dV =    ò  f div j   dV  

Bei einem stationären Strom verschwindet div j, und damit auch das Integral links:

Es ist mit einem stationären Strom in einem reinen Potenzialfeld also nicht verträglich, dass Wärme nach außen abgegeben wird.

Das ist aber sehr plausibel: Im Volumen V soll der geschlossene Strom ganz enthalten sein. Dann müssen notwendigerweise in Teilen des Stromkreises j und E gleichorientiert sein (Skalarprodukt >0), in anderen Teilen gegenläufig (Skalarprodukt <0). Die Arbeiten auf unterschiedlichen Teilen des Stromkreises summieren sich zu 0.

Die Aussage ist nicht gültig für einen nicht stationären Strom wie z.B. bei der Kondensator-Entladung. Hier liegt einerseits ein reines Potenzialfeld vor, andererseits hat die Stromdichte Quellen und Senken an den Kondensatorplatten (div j = - ¶r/¶t ¹ 0)

4. a) Das ohmsche Gesetz verknüpft die Stromdichte j mit der gesamten jeweiligen elektrischen Feldstärke am Ort der Stromdichte:    j = s. E  . Für die Stromwärme (pro Zeit- und Volumeneinheit) gilt dann nach Multiplikation mit j/s:   j²/s  =  j.E . Nach Integration über ein genügend großes Volumen V:

                                                                                    ò  j²/s  dV  = ò  j.E  dV = 0

wenn E ein reines Potenzialfeld und j ein stationärer Strom ist.

b) Berücksichtigen wir jetzt, dass das gesamte elektrische Feld i.A. aus einem reinen Potenzialfeldanteil E und einem reinen Wirbelfeldanteil E^(e) zusammengesetzt ist. Man kann sich vorstellen, dass in manchen Teilen des Stromkreises nur einer der beiden Feldanteile vorliegt. E^(e) könnte bei einer Batterie auch ein formales elektrisches Feld sein, das die (nichtelektrischen, z.B. chemischen) Vorgänge in der Stromquelle simuliert. Dann wäre E^(e) allein auf das Volumen der Stromquelle beschränkt. Oder E^(e)  könnte das elektrische Wirbelfeld sein, das überall im Stromkreis bei der Induktion durch ein zeitlich veränderliches Magnetfeld entsteht. Es ist plausibel, dass sich das ohmsche Gesetz durch die gesamte elektrische Feldstärke angeben lässt gemäß  

                                                                                             j = s. ( E +   E^(e)).  

Für die Stromwärme (pro Zeit- und Volumeneinheit) gilt dann nach Multiplikation mit j/s:   j²/s  =  j.E +  j.E^(e)

Nach Integration über ein genügend großes Volumen V:

                                                                                    ò  j²/s  dV  = ò  j.E  dV   +  ò  j. E^(e) dV

wieder ist es so, dass für einen stationären Strom der Anteil des reinen Potenzialfelds E verschwindet. Es gilt also für die Leistung:

E^(e)  könnte also das formale Feld sein, das die Vorgänge in der Stromquelle (Batterie) simuliert, es heißt oft das "eingeprägte Feld". Oder E^(e) ist der Teil des elektrischen Felds, der durch Induktion entsteht. Das Ergebnis ist ebenfalls sehr plausibel:

Die Stromwärme kommt bei einem stationären Strom ausschließlich von der "eingeprägten Feldstärke", also von der Stromquelle oder von der Induktion. Zusätzliche Potenzialfelder spielen energetisch für die Stromwärme keinerlei Rolle: Die Arbeit, die das Potenzialfeld verrichtet auf einem Teil des Stromwegs, wird durch die gewonnene Arbeit auf einem anderen Teil des Stromwegs kompensiert. Das hängt mit dem Wesen des Potenzialfelds, der Wegunabhängigkeit, zusammen. Aber eigentlich ist dieses Ergebnis auch schon anschaulich klar.

Ein vernünftiges Strommodell für die Schule sollte diese Tatsache abbilden.

5. Die Umlaufspannung oder Ringspannung ist definiert als das Umlaufsintegral über die elektrische Feldstärke über einen geschlossenen Weg.

Elektromagnetische Induktion lässt sich nur mit Hilfe der Ringspannung richtig erklären, weniger wichtig ist der Begriff im Zusammenhang mit einer Gleichstromquelle wie einer Batterie.

Bei einem reinen Potentialfeld ist die Ringspannung per definitionem 0 (Wegunabhängigkeit der Verschiebungsarbeit; rot E = 0) .

Die elektrische Feldstärke enthalte nun einen reinen Potenzialanteil E und einen reinen Wirbelfeld-Anteil E^(e) (rot E^(e) ¹  0). Es gilt dann

                                                               U =   òo E.ds + òo E^(e).ds =   òo E^(e).ds  = ò rot E^(e) .df  ¹  0      ^*)

Dabei wurde für den vorletzten Schritt der Stokessche Satz angewandt; es wird dabei über die von der geschlossenen Kurve eingefasste Fläche integriert. Eine nicht verschwindende Umlaufspannung (Ringspannung) setzt also ein elektrisches Wirbelfeld E^(e) voraus. Das ist der Fall bei der Induktion, aber auch bei einer Gleichstromquelle, wo das formale "eingeprägte" Feld E^(e) auf den Bereich der Stromquelle beschränkt ist.

Wozu braucht man eine Ringspannung beim Gleichstromkreis? Es soll jetzt der Zusammenhang zwischen Widerstand, Stromstärke und Umlaufspannung gefunden werden. Der Strom fließt ja bekanntlich "immer im Kreis herum"; jeder Teil des geschlossenen Stromkreises kann zum gesamten Widerstand beitragen, also auch das Innere einer Stromquelle. Denken wir uns einen Abschnitt der Länge Dl des Leiters mit konstantem Querschnitt und der Leitfähigkeit s. Dann beträgt der Teilwiderstand dieses Abschnitts R = Dl/(A.s). Bei einer Stromstärke I führt das zu einem Spannungsabfall I.R = I. Dl/(A. s) = j/s .Dl, weil j = I/A. Enthält der Stromkreis mehrere solcher Abschnitte, müssen wir sie alle durchnummerieren und die Teilwiderstände aufaddieren. Im Grenzübergang zu beliebig vielen, beliebig kurzen Abschnitten erhalten wir also für den gesamten Spannungsabfall längs des geschlossenen Stromkreises:

                                                          òo jds /s

setzen wir jetzt unseren Ansatz für die Stromdichte j ein, das ohmsche Gesetz, erhalten wir

                                             òo jds /s  =   òo (E + E^(e) ) ds      ^*)

(jeweils Umlaufsintegrale über einen geschlossenen Weg). Es verbleibt wie gerade besprochen nur der Anteil des Wirbelfelds und der ist gleich der Ringspannung U:

Nur in Sonderfällen lässt sich die Ringspannung durch eine gewöhnliche Spannung ausdrücken (s. 6)

Folgerungen:

• Das ist eine Art Kirchhoffscher Regel: Die Summe aller Spannungsabfälle (links) in einem geschlossenen Stromkreis ist gleich der Umlaufs- oder Ringspannung.
• Dieses plausible Ergebnis ist jetzt insofern klarer geworden, als wir jetzt wissen, dass ein evtl. zusätzliches Potenzialfeld für die Spannungsabfälle und die Stromstärke keinerlei Rolle spielt. Ein Potenzialfeld ist völlig herausgefallen.
• Die Stromstärke im geschlossenen Stromkreis mit einem stationären Strom ist ausschließlich durch die Ringspannung infolge des "eingeprägten" elektrischen Wirbelfelds E^(e) und den Gesamtwiderstand bestimmt. Stromwärme kommt ausschließlich von der Stromquelle.

  Früher wurde die Umlaufs- oder Ringspannung auch "elektromotorische Kraft" (EMK) genannt .

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  6. Nehmen wir als Beispiel eine Gleichstromquelle.

  a) Im Fall einer Gleichstromquelle simuliert die eingeprägte Feldstärke E^(e) die tatsächlichen chemischen Vorgänge. Sie ist dann ausschließlich auf den Bereich der Stromquelle beschränkt. Außerhalb der Stromquelle ist E^(e) = 0. Die "Queränderung" von E^(e) am Rand der Stromquelle ist hier der Grund für rot E^(e) =/ 0.

  Dass der Begriff Ringspannung eng mit der Spannung verwandt ist, erkennt man aus dem Zusammenhang mit der Leerlaufspannung U₁₂ zwischen den Klemmen 1 und 2 einer Gleichstromquelle: Bei Stromlosigkeit (I = 0, j = 0) gilt im Inneren der Stromquelle, also da, wo ein Wirbelfeld E^(e) vorliegt, E = - E^(e). Integriert man über diesen Bereich ganz hinweg, so erhält man

  2               2   U12  =   -   ò  E ds =     ò   E(e) ds =     òo  E(e) .ds     *)                    1                1

  (links Integral über einen Weg im Inneren der Stromquelle, rechts Umlaufsintegral über geschlossenen Weg)

  Das letzte Gleichheitszeichen gilt, da E^(e) im Außenraum verschwindet; dort kann das Integral schadlos ergänzt werden.

  Im offenen Stromkreis ist also die Spannung zwischen den Klemmen der Stromquelle (die Leerlaufspannung U12; linke Seite) gleich der Ringspannung (rechte Seite).

  Bei stationären Strömen ist es also die Ringspannung, für die die übliche Argumentation der Schule gilt, z.B. im Zusammenhang mit dem Ohmschen Gesetz, obwohl ausschließlich der nichtkonservative Teil des Feldes, das eingeprägte Feld E^(e) mit rot E^(e)  ¹ 0 zur Ringspannung beiträgt.

  Auf Schulniveau lässt sich also jetzt sagen, dass es die Ringspannung ist, die einen stationären elektrischen Strom antreibt, wobei die Ringspannung evtl. nichtelektrischen Ursprungs ist. Zu ihr gehört kein Potenzial.

  Bei der Entladung eines Kondensators dagegen ist die Spannung bzw. die Potenzialdifferenz die Ursache für das Einsetzen des Stroms.

  Argumentiert man mit den Feldern, muss man sagen, dass im Fall der stationären Ströme das elektrische Wirbelfeld E^(e) , und im Fall der Kondensatorentladung das (wirbelfreie) elektrostatische Feld E die Ursache für für das Einsetzen des Stromflusses ist.

  b) Integriert man beim Fall der Stromquelle im Außenraum, also dort, wo nur das elektrostatische (Potenzial-)Feld vorliegt, so führt  (**)    ò E ds wieder auf    I . R_ext, wobei R_ext der äußere Widerstand zwischen den Punkten 1 und 2 ist. Dieser Anteil des Linienintegrals entspricht dem Spannungsabfall am Widerstand, und kommt allein von dem elektrostatischen Feld her. Integriert man im Außenraum von einer Klemme zur anderen, so hat man den Spannungsabfall an allen äußeren Widerständen des Stromkreises bzw. die Klemmenspannung, die, wie wir wissen, gegenüber der Ringspannung evtl. um den inneren Spannungsabfall vermindert ist.

  Dabei ist das Linienintegral (**) "fast" unabhängig vom Weg: jeder Weg liefert denselben Wert, wenn er nicht durch einen Bereich verläuft, wo E^(e) =/ 0. In diesem Sinn gibt es also ein "Quasi-Potenzial", bzw. in sehr guter Näherung ein Potenzial. In diesem Fall muss man also sagen: wegen des Anteils E am elektrischen Feld hat es bei der Stromquelle einen sehr guten Sinn, von Spannungen U (im Sinne einer Potenzialdifferenz) zu sprechen; diese sind jedoch nicht die strombestimmend. Dafür ist die Ringspannung oder EMK zuständig, die dem Wert nach, aber keineswegs begrifflich, gleich der Leerlaufspannung bei Stromlosigkeit ist.

  c) Die Stromquelle habe einen endlichen Innen-Widerstand ( s_i  endlich ). Es soll - wegen eines endlichen Widerstands im Außenkreis - ein endlicher Strom fließen. Dann muss sich durch Ladungstrennung zwischen den Klemmen im Inneren der Stromquelle auch ein statisches elektrisches Feld E ausbilden, so dass im Inneren der Stromquelle wegen  j = s_i( E + E^(e) ) gilt: E =  j / s_i - E^(e). E und E^(e) sind innerhalb der Stromquelle wieder entgegengesetzt, aber nicht von gleichem Betrag.

  Nach Multiplikation mit dem Klemmenabstand Dl erhält man für die Ringspannung bzw. Leerlaufspannung:   òo  (E + E^(e) ) ds   = U_L =  U₁₂ + j .Dl / s_i bzw.  U₁₂  = U_L - j .Dl / s_i . Die Klemmenspannung U₁₂ ist in diesem Fall ungleich der Leerlaufspannung  U_L und ungleich der Ringspannung. Sie unterscheidet sich von  U_L um j.A  Dl/(A.s_i), also um den Spannungsabfall I. R_i am Innenwiderstand R_i  = Dl/(A.s_i) der Stromquelle.)

  c) Die Stromquelle sei widerstandslos ( s gegen unendlich ), es soll aber - wegen eines endlichen Widerstands im Außenkreis - nur ein endlicher Strom fließen. Dann muss trotz j =/ 0 das Innere der Stromquelle wegen  j = s ( E + E^(e) ) wieder feldfrei sein: E = - E^(e), wenigstens solange das Ohmsche Gesetz gültig ist, und wenn stationäre Ströme betrachtet werden können, wie bei einer Batterie. Die Klemmenspannung ist in diesem Fall tatsächlich gleich der Leerlaufspannung und von gleichem Wert wie die Ringspannung. In diesem Fall bewirkt E^(e) eine Ladungstrennung, die  zur Entstehung des elektrostatischen Felds E mit dieser Eigenschaft führt. Das wird in etwa auch richtig sein, wenn der Widerstand der Stromquelle sehr klein ist. Die Drude-Theorie der Leitfähigkeit zeigt, dass dieser Grenzfall richtig ist, solange das Anwachsen der Elektronengeschwindigkeit früh begrenzt wird, z.B. durch den Widerstand des äußeren Leiters.  In anderen Fällen (Supraleiter) gilt das Ohmsche Gesetz nicht mehr. Z.B. mit Hilfe der London-Gleichungen wird hier geklärt, dass trotz verschwindenden Widerstands die Stromdichte endlich bleibt. Dieser Grenzfall gilt dann, wenn das Anwachsen der Elektronengeschwindigkeit während der Zeitdauer der äußeren Vorgänge nur durch die Trägheit der Elektronen begrenzt ist. 

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  7. Bei der Induktion durch einen zeitlich veränderlichen magnetischen Fluss F, der eine geschlossene Leiterschleife durchsetzt, entsteht das Wirbelfeld E^(e) eben gerade durch die Induktion und ist i.A. überall von 0 verschieden. Weil ein elektrostatisches Feld E (Potenzialfeld) ohnehin keine Rolle spielt, wird es gleich weggelassen und es gilt mit der Änderungsrate des magnetischen Flusses dF/dt  das Induktionsgesetz  ^*):

  òo jds /s =   òo E(e) ds = -   dF/dt

  Es ist hier recht willkürlich, von einer Klemmenspannung zu sprechen, weil in vielen Fällen keine Klemmen lokalisiert werden können. Es lassen sich Spannungabfälle an Teilwiderständen definieren, die vom gemeinsamen Strom I durchflossen werden. Sonstige Spannungen zwischen zwei Punkten genügen zwar dem Gesetz

  2                  U12  =        ò  E(e)ds                    1

  sind aber davon abhängig, längs welchen Wegs integriert wird, weil hier ganz klar ein elektrisches Wirbelfeld vorliegt, in dem die Verschiebungsarbeit Q.U₁₂ wegabhängig ist. Die Spannung zwischen zwei Punkten kann also die verschiedensten Werte annehmen, je nach dem Weg, der die beiden Punkte verbindet. Es sei -dF/dt = 10 V. Wenn die beiden Punkte zusammenfallen, könnte die Spannung 0 sein, wenn der Weg den sich ändernden Fluss ausschließt, oder 10 V, wenn der Weg einmal den sich ändernden Fluss umschlingt, oder 20 V, wenn er ihn zweimal umschlingt, usw.

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  8. Zur Ableitung der Leistungsdichteformel:

  An einer Ladung DQ = r . DV in einem kleinen Volumen DV verrichtet das elektrische Feld E Arbeit beim Transport um die Strecke Ds. Der Transport der Ladung ist mit einer Strömung mit der Geschwindigkeit v verbunden, also mit einem elektrischen Strom mit der Stromdichte j = r . v. Dann gilt für die verrichtete Arbeit DW = F.Ds = DQ.E.Ds = r . DV.E.Ds = r . DV.E.v.Dt =  j.E.DV.Dt.  Damit erhält man für die Leistungsdichte n:

  n = DW / (DV.Dt) =   j.E

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  9. Konsequenzen für den Physik-Unterricht: Ein Strommodell, das potenzielle Energieformen zur Erklärung heranzieht, ist zu kompliziert und entspricht nicht der einfacheren tatsächlichen Physik. Die Stromwärme kommt ausschließlich von der Stromquelle (woher denn sonst?). Den Spannungsbegriff allein über die Potenzialdifferenz oder über potenzielle Energie erklären zu wollen, ist sicher nicht ausreichend zum Verständnis der Situation in einem elektrischen Stromkreis. Es würde eine falsche Physik vermittelt werden. Spannungsabfälle erscheinen als eine Folge eines Stroms und nicht als seine Ursache. Sie haben eine andere begriffliche Funktion als Potenzialdifferenz und Ringspannung. Das Typische bei der Induktion ist die Entstehung eines elektrischen Wirbelfelds mit einer Ringspannung.

  Ein brauchbares und mit der Theorie kompatibles Modell für einen elektrischen Stromkreis scheint mir das Modell des geschlossenen Heizungskreislaufs zu sein, der sich auch durch ein konkretes Modell veranschaulichen lässt.

  Eine Zusammenfassung dessen, was - aufbauend auf dieser Theorie des stationären Stromes - in der Schule gelehrt werden sollte, finden Sie hier.

    ^*) Das Zeichen òo steht für ein Umlaufsintegral über eine geschlossene Kurve.