Ein Sonderfall einer Unipolar-Induktionsmaschine beschäftigt seit langem immer wieder Autoren von Hochschullehrbüchern zur Elektrodynamik oder von Wissenschaftlern, die Grundsätzliches über die elektromagnetische Induktion verstehen wollen.

Zur Erinnerung: Die Flussregel besagt, dass die Ringspannung längs einer geschlossenen Kurve C sich aus der zeitlichen Änderung des magnetischen Flusses ergibt, der die von C eingeschlossene Fläche senkrecht durchsetzt:  

                                                 ò ₀ E.ds = - dF/dt            (ò ₀ : Umlaufsintegral)

Nur, wenn ein elektrisches Wirbelfeld E vorliegt, ergibt sich eine Ringspannung =/ 0, findet also Induktion statt.

Im Zusammenhang mit der Unipolar-Induktionsmaschien wird folgende Anordnung studiert: Ein magnetisierter, gut leitfähiger Stab bewege sich im Laborsystem mit konstanter Geschwindigkeit v = v i  in positive x-Richtung, eine Leiterschleife mit einem eingebauten Spannungs- oder Strommesser ruhe im Laborsystem, aber so, dass gut leitende Kontakte auf dem magnetisierten Stab gleiten. Zu den diskutierten Frage gehört: Findet hierbei Induktion überhaupt statt? Wenn ja, was ist die Ursache der Induktion? Gelten die einfachen Regeln für die Induktion (Lorentz-Kraft oder Fluss-Regel) auch hier? Schon bei der ersten Frage gehen die Meinungen in der Literatur weit auseinander. Gerade zur letzten Frage gilt der vorliegende Fall manchmal als Beispiel, dass diese Regeln hier nicht anwendbar seien. Analysieren wir das Problem mit Hilfe der zuständigen speziellen Relativitätstheorie, die die beiden zu betrachtenden Bezugssysteme miteinander verknüpft. Einerseits braucht man das Bezugssystem K', in dem der Stab ruht. In ihm wird eine magnetische Flussdichte B' mit einer Magnetisierung M' gemessen; ein mögliches elektrisches Feld E' kann in ihm als verschwindend gewählt werden. Andererseits das Bezugssystem K, in dem die Leiterschleife ruht, das Laborsystem also; die in ihm gemessenen Felder und Kräfte sind alle ohne Strich gekennzeichnet. Die Lorentz-Transformation zeigt dann, wie die Felder zu transformieren sind. Da sich im BZS K der Stab mit der Geschwindigkeit v bewegt, wird man in den nicht relativistisch genäherten Transformationsformeln  -v erwarten können. Wie üblich sind dann im BZS K magnetische Felder B und M zu messen, aber auch ein elektrisches Feld E. Auch die Kraft auf eine Ladung q muss mittransformiert werden; F im BZS K enthält dann als einen Anteil eine Kraft, die durch das transformierte elektrische Feld E zustande kommt (und wie eine Lorentz-Kraft aussieht). Bemerkenswert ist aber vor allem, dass in K eine elektrische Polarisation P gemessen wird, d.h. im Laborsystem K ist der Stab nicht nur magnetisiert sondern auch elektrisch polarisiert. Diese Polarisation P spielt in allen Diskussionen eine wichtige Rolle. Sie ist der Grund für dieses elektrische Feld E im Magneten.

Abb. 1: Anordnung: Ein quaderförmiger magnetisierter Stab ("Magnet") bewege sich im Laborsystem mit einer ruhenden Leiterschleife gleichförmig mit v in x-Richtung. Mittels Kontakten gleiten die Leiterenden auf dem gut leitenden Magneten.

Im Einzelnen ergibt sich folgende Tabelle:

Im magnetisierten Stab ist  - vom BZS K der Leiterschleife aus - eine elektrische Polarisation P  zu messen, die in Abb. 1 nach vorn gerichtet,  wegen div P = - r bilden sich auf der Vorderfläche des Stabs positive Polarisationsladungen (gelb in die Zeichnung eingetragen) aus.

Die Folge von P ist ein elektrisches Feld E im Stab entgegengesetzt  zu P (Im Inneren nach hinten; positive Ladungen vorn). In Sondernfällen handelt sich um ein rein statisches elektrisches Feld. Hier interessieren aber gerade die Fälle, wo das nicht der Fall ist.

(II) Wegen D = e₀ E + P = 0  => E = - P/e₀ = - v x M' / e₀c² » - v x µ₀ M = - v x B   gilt

E = - v x B    ,     da in B = µ₀ (H +  M)   H = 0.

E = - v x B  ist im Inneren des Stabs nach hinten gerichtet. Von der Leiterschleife aus ist dann eine Kraft auf frei bewegliche Ladungen im Magneten messbar:

F  = q E   = - q v x B

Das ist also die elektrische Kraft auf frei bewegliche Ladungen im Magneten als Folge der elektrischen Polarisation. Beide Argumente (I und II) liefern übereinstimmendes Ergebnis.

Andererseits: Im Magneten werden frei bewegliche Ladungen mitbewegt. Naiv könnte man glauben, dass sie "im Vergleich zu den mitbewegten Feldlinien" in Ruhe sind, also keine Lorentz-Kraft erfahren. Da es aber keine "Bewegung gegen Feldlinien" gibt (das Stachelmodell ist sicher falsch), gibt es auch im System K der Leiterschleife mit seinem Magnetfeld B = B' eine Lorentz-Kraft auf freie Ladungen, die mit dem Magneten (Geschwindigkeit v) bewegt sind. Sie erfahren die Lorentz-Kraft  F_L = q v x B  = q v x B' , weil sie sich in einem Magnetfeld B = B' bewegen (Im BZS K ist das tatsächlich eine magnetische Kraft, nicht etwa eine durch Lorentz-Transformation entstandene elektrische Kraft, wie F!).

Insgesamt ergibt sich als Kraft auf frei bewegliche Ladungen im Magneten, von Leiterschleife aus gesehen:           F _total = F + F_L = 0    : beide Kräfte heben sich auf. Weder ein mit der elektrischen Polarisation P des Stabs zusammenhängendes elektrisches Feld E im Inneren des Magneten  noch die Lorentz-Kraft können die Ursache für eine Induktion sein. Darauf weisen viele Autoren mit Recht hin. In der Literatur wird oft auch gezeigt, dass dieses Feld E ein rein elektrostatisches Feld ist, wenn der Stab in x-Richtung beliebig lang ist.

Es ist aber auch klar:  Weil das Umlaufsintegral ò ₀ E.ds bei einem rein elektrostatischem Feld verschwindet, weil also nicht dauerhaft Arbeit verrichtet werden kann, kann ein elektrostatisches (Potenzial-)Feld E nicht für einen stationären oder quasistationären Strom sorgen. Ein solches Feld kann einfach nicht dauerhaft Stromwärme heranschaffen. Wenn es also zur Induktion kommt, dann muss ein Wirbelfeld vorliegen.

In vielen Fällen wird tatsächlich ein Unipolarinduktionsstrom beobachtet. Woher kommt er?

Wo sind im System des Leiterrings Wirbel des elektrischen Feldes zu erwarten? Nun, rein anschaulich da, wo sich das elektrische Feld E in seine Querrichtung ändert. Das ist an den Rändern bzw. Seitenflächen des Stabs der Fall. Besonders auffällig wird diese Queränderung, wenn es sich nicht um einen in y-Richtung unendlich langen Stab handelt. Dann gibt es zusätzlich zu dem Magnetfeld in y-Richtung innerhalb des Stabs wegen div B = 0 ein Rückfeld, das die Leiterschleife z.T. ebenfalls senkrecht, überwiegend in negative y-Richtung durchsetzt. Bei einem unendlich langen Stab ist dieses Rückfeld vernachlässigbar. Der Stab soll hier so lang sein, dass dies auch näherungsweise noch gilt. Andernfalls würde dieses Rückfeld die folgenden Überlegungen zum Teil verfälschen.

Führen wir wieder eine stetige Magnetfeldverteilung für den Stab ein. In positive x-Richtung gehend soll also das Magnetfeld am linken Rand von 0 auf den positiven Wert B in y-Richtung wachsen und am rechten Rand von B wieder auf 0 fallen. Die Geschwindigkeit v kann dann für den ganzen Magneten als konstant angesehen werden. Dann gilt für die Bewegungsrichtung im Bezugssystem der Leiterschleife für - der Einfachheit halber einen quaderförmigen Magneten:

B = B(x,y,z) j = B j [ q(x - v.t) - q(x - l_x - v.t) ] [ q(z) - q(z - l_z) ]

mit

ïB/ïx = B ·[ d( x - v.t) - d( x - l_x - v.t)] [ q(z) - q(z - l_z) ]

In y-Richtung kann das B-Feld sicher nicht schlagartig aufhören. Dort ist ein q-Ansatz sicher nicht sinnvoll. Dass B hier im Ansatz unbeschränkt in y-Richtung fortgesetzt wird, ist eine Näherung; sie spielt aber keine Rolle.

Dann gilt für das elektrische Feld E

rot E = -rot (v x B) = - v(div B) + B (div v) - (B.grad) v + (v.grad) B

=  B (div v) -  (B.grad) v + (v.grad) B            ,           da wegen div B = 0 das B-Feld quellfrei ist, also nur "geschlossene Feldlinien" besitzt.

=  (v.grad) B ,  da v = konstant,

also

rot E =   v ¶B/¶x j  

Die einzigen Beiträge zu rot E sind in B-Richtung (y-Richtung) oder entgegengesetzt dazu orientiert, dort, wo sich das B-Feld in Bewegungsrichtung ändert. Dieses elektrische Wirbelfeld E hat im Inneren des Magneten - vom Laborsystem aus beurteilt - die diskutierte negative z-Richtung. Es kann aber nicht außerhalb des Magneten plötzlich aufhören. Generell kann man das E-Feld im ganzen Raum im Prinzip berechnen aus seinen Quellen (div E = - div P/e₀) und seinen Wirbeln (rot E = v ¶B/¶x  j), wie in jedem Lehrbuch der Elektrodynamik nachzulesen ist.

Wählt man eine geschlossene Kurve längs der Leiter, die in Richtung des E-Felds durchlaufen wird, so muss der zugehörige Flächenvektor df in negative y-Richtung orientiert sein (df = - dx.dz j). Nach dem Stokesschen Satz kann zum Umlaufsintegral nur die Komponente von rot E in y-Richtung beitragen. Anteile in x-Richtung, die bei anderen Näherungen an der oberen oder unteren Begrenzungsfläche in y-Richtung entstehen könnten, spielen offenbar keine Rolle.

Es ergibt sich also für das Umlaufsintegral (die Ringspannung)

 ò ₀ E(r) · dr = ò ₀ rot E · df = = - ò ₀ (  v B ·[ d( x - v.t) - d( x - l_x - v.t)] [ q(z) - q(z - l_z) ]  dx.dz )

=  B.v.l_z

Aus dem elektrischen Wirbelfeld ergibt sich auch hier der übliche Ausdruck nach der naiven Herleitung mit der Flussregel.

(Nur die zweite d-Funktion (mit dem negativen Vorzeichen) konnte einen Beitrag liefern, wenn die geschlossene Kurve irgendwo zwischen der linken und der rechten Seitenfläche den Magneten durchstieß. Die Integration über die q-Funktionen in z-Richtung ergab den Faktor l_z.)

Die Rolle des Wirbelfelds wird von manchen Autoren übersehen. Andere Autoren erkennen den Beitrag  (v.grad) B =/ 0, wenn der Stab in x-Richtung nur endlich ausgedehnt ist. Sie leugnen dann mit Recht die Entstehung des Wirbelfelds bei unendlicher Ausdehnung des Magneten in x-Richtung (auch anschaulich ist das klar, weil sich dann das Magnetfeld innerhalb der Leiterschleife nie ändert). Dann kommt es auch nach Aussage der Flussregel für diesen Fall zu keinem Induktionsstrom.

Abb. 2: Anschauliche Regel zur Richtungsentscheidung: dB kennzeichnet jeweils eine zeitliche Änderung der magnetischen Flussdichte durch ein fiktives Zusatzfeld. Wegen rot E = - dB/dt ist rot E jeweils entgegengesetzt zu dB. Nach der rechten Handregel entsteht das elektrische Wirbelfeld mit dem eingezeichneten Durchlaufssinn.

Zur Richtungsentscheidung: ¶B/¶x ist am linken Rand in positive B-Richtung (also positive y-Richtung), der zugehörige Beitrag zu rot E ist also in y-Richtung orientiert. Ganz entsprechend ist ¶B/¶x  am  rechten Rand negativ, der zugehörige Beitrag zu rot E ist also in -y-Richtung orientiert. Es ergeben sich die blauen Pfeile der Abb. 1 und damit die Richtung des induzieren E-Feldes nach der Rechten-Hand-Regel. Wieder sieht man, dass sich das entstehende Wirbelfeld an den Rändern des magnetischen Stabs ergibt, wobei es aber ausschließlich auf die Wirbelkomponenten in y-Richtung ankommt.

Ein anschauliches Argument für die Richtungsentscheidung ist folgendes:  Für einen Beobachter im Laborsystem (relativ zu dem sich der Stab bewegt), kann die Veränderung des Magnetfelds infolge der Bewegung auch durch zeitliche Veränderung gedeutet werden. In Bewegungsrichtung hinter dem Stab verschwindet das Magnetfeld B durch ein Zusatzfeld dB in negative y-Richtung, davor wächst es durch ein Zusatzfeld dB in positive y-Richtung. Wegen rot E = - dB/dt müssen also links Wirbel mit rot E in positive y-Richtung, rechts in negative y-Richtung entstehen, wie es auch die formale Rechnung zeigt (Abb. 2).

Damit ist klar:

Bei endlicher Ausdehnung des Magneten in x-Richtung arbeitet die Anordnung als Unipolar-Induktionsmaschine. Dabei entsteht - wie bei allen Induktionsvorgängen in einem geeigneten Bezugssystem - ein elektrisches Wirbelfeld mit einer von 0 verschiedenen Ringspannung. Diese ergibt sich entsprechend der Flussregel. Ursache für die Induktion ist in diesem Fall - vom BZS der ruhenden Leiterschleife aus gesehen - die elektrische Polarisation P des bewegten Magneten, die bei endlicher Ausdehnung in x-Richtung ein elektrisches Wirbelfeld E zur Folge hat. In dieser Betrachtungsweise ist die Lorentz-Kraft nicht die treibende Kraft, weil sie durch die Kraft des elektrischen Feldes im Inneren des bewegten Leiters vollständig aufgehoben wird. Sie ist außerdem auf den Bereich des Magneten beschränkt. Durch die Ringspannung wird ein dauernder Ringstrom am Fließen gehalten, solange der Magnet in Bewegung ist.

Literatur:

[1] Panofsky, W. und Phillips, M. , Classical Electricity and Magnetism, Addison Wesley Publishing Company, Reading, Palo Alto, London, 2. Auflage 1964, S. 158 ff, S. 336 ff

[2] Becker, R., Sauter, F., Theorie der Elektrizität, Teubner Verlagsgesellschaft, Stuttgart, 18. Auflage 1964, S. 119 ff u. S. 264 ff

[3] Grabinski H., Der Heringsche Versuch: Mythen und Fakten, Electrical Engineering, Archiv für Elektrotechnik, 80, S. 285 - 290, 1997, S. Auch                                http://www.lfi.uni-hannover.de/text/germ/people/Grabinski/htmls/abstr9.html

[4] Giuliani, G., On electromagnetic induction:         http://fisicavolta.unipv.it/percorsi/pdf/emi_web.pdf  (hierbei u.a. "Kaempffer's example")